CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN
Tích phân bất định
Tích phân xác định
Tích phân suy rộng
Ứng dụng hình học của tích phân
Tích phân bất định
Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuộc (a,b) ta đều có F’(x) = f(x)
Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm f(x)
Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C
Tích phân bất định
Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), kí hiệu
Tính chất:
Tích phân bất định
Tích phân bất định
Bảng tích phân các hàm cơ bản
Tích phân bất định
Bảng tích phân các hàm cơ bản
Tích phân bất định
Phương pháp đổi biến:
Thì:
Nếu
Với φ(t) là hàm khả vi
Định lý:
Ta kiểm tra lại bằng cách tính đạo hàm vế phải:
Ta được hàm dưới dấu tích phân vế trái tức là định lý được chứng minh
Định lý trên là cơ sở của 2 cách đổi biến thường gặp sau đây
Tích phân bất định
Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và có hàm ngược t= φ-1(x) thì ta có
Nếu nguyên hàm của f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì
Đặt x = sint thì
Tích phân bất định
Tích phân bất định
Đặt u = 2x+1
Tích phân bất định
Phương pháp tích phân từng phần:
Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) có nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng có nguyên hàm trên (a,b) và ta có
Đẳng thức trên tương đương với:
Đẳng thức này hiển nhiên đúng theo công thức đạo hàm của tích
Ta còn viết CT trên ở dạng
Tích phân bất định
Đặt u=arcsinx, dv=dx
Đặt
Tích phân bất định
Ví dụ: Tìm công thức truy hồi cho tích phân
Vậy:
Tích phân bất định
Với n=1:
Với n=2:
Tích phân bất định
1. Tích phân phân thức đơn giản lọai 1:
2. Tích phân phân thức đơn giản lọai 2: với ax2+bx+c là tam thức bậc 2 không có nghiệm thực
Thêm bới để tử số thành đạo hàm của mẫu số cộng 1 hằng số
Tích phân bất định
Ta đựơc tổng của 2 tp cơ bản dạng
Thêm bớt để mẫu số có dạng u2+a2
Tích phân bất định
Tách tử số thành tổng đạo hàm của mẫu số và 1 hằng số để chia hàm thành tổng 2 hàm với hàm thứ 2 có mẫu số đã tách thành tổng bình phương của 1 nhị thức và hằng số
Tích phân bất định
Trường hợp 1: n ≥ m
Và được:
Khi đó, hàm hữu tỉ cần tính tích phân là phân thức thực sự tức là bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số. Ta chuyển sang trường hợp 2.
Tích phân bất định
Trường hợp 2: n < m
Bước 1: Giả sử
Bước 2: Ta giả sử hàm f(x) thành tổng các phân thức đơn giản dạng
Bước 3: Đồng nhất hệ số 2 vế để xác định cụ thể các hệ số M, N, a, b, c, d, e
Trong đó l1+l2+…+lr+k1+k2+…+ks=m và các tam thức bậc 2 dạng - cx2+dx+e - không có nghiệm thực
Bước 4: Tính các tp các hàm đơn giản, cộng lại ta được tp cần tính
Tích phân bất định
Giả sử :
Ta chọn các giá trị đặc biệt
Tích phân bất định
Giả sử:
Cho x = -1, bỏ (x+1) ở mẫu số của VT và giữ hệ số của 1/(x+1) ở VP,
Cho x = -4, bỏ (x+4) ở mẫu số của VT và giữ hệ số c của 1/(x+4) ở VP, ta được b=23
ta được a = - 1
Tích phân bất định
Giả sử
Cho x=1: bỏ (x-1)2 ở VT, a, b, c ở VP, ta được d=1
Cho x=i hoặc x=-i: bỏ (x2+1) ở VT, c, d ở VP, ta được:
Lấy thêm 1 giá trị tùy ý của x: x=0 và thay a, b, d đã có vào để được c = 1/2
Vậy:
Tích phân bất định
Tích phân 1 số hàm vô tỉ
Để đưa về tp này thành tp hàm hữu tỉ
Ta được:
Tích phân bất định
Tích phân bất định
Tích phân bất định
Đưa tam thức bậc 2 về dạng u2+a2, u2-a2, a2-u2 và dùng các cách đổi biến cụ thể:
a. Dạng u2+a2: đặt u=a.tant hoặc u=a.cotant
b. Dạng u2-a2: đặt u=a/cost hoặc u=a/sint
c. Dạng a2-u2: đặt u=a.cost hoặc u=a.sint
Tích phân bất định
Ví dụ: Tính
Tích phân bất định
Trong một số trường hợp cụ thể, nên nhớ cách riêng như sau
Tính như tp hàm hữu tỉ
Tích phân bất định
Đặt (x-α)=1/t để đưa về dạng trên
Đặt
Tích phân bất định
Đặt
Tích phân bất định
3. Tích phân Trebushep dạng
m, n, p là các số hữu tỉ
Tích phân bất định
Ta viết lại hàm dưới dấu tp về dạng
Đặt x = t4 → dx = 4t3dt
Tích phân bất định
Tích phân bất định
Đặt:
Tích phân bất định
Đặt:
Tích phân bất định
Ví dụ: Tính
Hàm dưới dấu tp là chẵn với sinx, cosx nên ta đặt
Tích phân bất định
Ví dụ: Tính
Ta viết tử số dưới dạng a.MS+b.(MS)’
Giả sử: