Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nhiều biến

Chương 1: Giới hạn và liên tục


Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của giải tích hàm nhiều biến. Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng: hàm nhiều biến, giới hạn kép và liên tục, đạo hàm riêng và vi phân, đạo hàm theo hướng, khai triển Taylor, Maclaurint của hàm nhiều biến, ứng dụng của đạo hàm riêng: phương trình mặt phẳng tiếp diện, pháp véctơ, ứng dụng tìm cực trị; cách tính tích phân bội: bội 2, bội 3; tích phân đường: loại 1, loại 2; tích phân mặt: loại 1, loại 2 và các ứng dụng hình học, cơ học của các loại tích phân này; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; trường véctơ.
Mục tiêu của môn học Toán 3
Nhiệm vụ của sinh viên.
Đánh giá, kiểm tra.
Tài liệu tham khảo
1. Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Giải tích nhiều biến. NXB Đại học quốc gia
2. Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 3.
4. James Stewart. Calculus, second edition, 2000.
5. www.tanbachkhoa.edu.vn
3. Đỗ Công Khanh. Giải tích nhiều biến. NXB Đại học quốc gia
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Hàm hai biến
0.2 – Các khái niệm tôpô trong Rn
0.4 – Giới hạn
0.5 – liên tục
0.3 – Các mặt bậc hai
I. Hàm hai biến
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Hàm hai biến
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D được gọi là miền xác định của f.
Nếu f cho bởi biểu thức đại số: Miền xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x và y, sao cho biểu thức có nghĩa.
Miền giá trị là tập hợp tất cả các số thực mà hàm có thể nhận được.
I. Hàm hai biến
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Miền xác định:
Miền xác định:
Miền giá trị:
I. Hàm hai biến
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Miền xác định:
Miền xác định:
Miền giá trị:
Miền giá trị:
Miền xác định:
Miền giá trị:
II. Tôpô trong R2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Có một lân cận của M0 nằm trọn trong A, nghĩa là chỉ chứa những điểm của A. Khi đó M0 được gọi là điểm trong của tập A.
Hình tròn mở này cũng gọi là một r-lân cận của M0 và mọi tập con của R2 chứa một r-lân cận nào đó của M0 gọi là một lân cận của M0.
Có một lân cận của M0 nằm trọn ngoài A, nghĩa là hoàn toàn không chứa điểm nào của A. Khi đó M0 là một điểm trong của phần bù của A.
Bất kỳ lân cận nào của M0 cũng có cả những điểm của A và những điểm không thuộc A. Khi đó M0 là một điểm biên của A.
II. Tôpô trong R2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý. 1) Điểm trong của A là một điểm thuộc A.
2) Điểm biên của A có thể thuộc hoặc không thuộc A.
Một tập hợp được gọi là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong của nó.
Một tập hợp được gọi là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó đều là điểm trong của phần bù của nó.
Một tập hợp là đóng nếu phần bù của nó là mở.
Một tập hợp là mở nếu nó không chứa điểm biên nào của nó.
II. Tôpô trong R2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điểm M0 được gọi là điểm tụ của A, nếu mọi lân cận của M0 đều chứa vô số điểm của A.
Điểm M0 là điểm tụ của tập A, nếu mọi lân cận của nó có chứa ít nhất một điểm của A khác với M0.
Chú ý. 1) Điểm tụ có thể thuộc A, có thể không thuộc A.
2) Có những tập hợp không là tập đóng, cũng không là tập mở.
Một tập hợp là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của nó.
II. Tôpô trong R2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng. Cho tập hợp A
4. Tập A là tập mở.
1.Tất cả các điểm trong của A:
2. Tất cả các điểm biên của A:
3. Tất cả các điểm tụ của A:
II. Tôpô trong R2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Tìm tất cả các điểm tụ của A.
Ví dụ.
Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng. Cho A là tập hợp các điểm nằm trong hình tròn đơn vị mà tọa độ các điểm là các số hữu tỉ.
4. Tập A đóng hay mở.
1. Tìm tất cả các điểm trong của A.
2. Tìm tất cả các điểm biên của A.
Đáp số:
1) Không có điểm trong
2) Tập điểm biên và điểm tụ bằng nhau
4) A không đóng, không mở.
II. Tôpô trong R2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Tìm tất cả các điểm tụ của A.
Ví dụ.
Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng. Cho tập hợp A
4. Tập A đóng hay mở.
1. Tìm tất cả các điểm trong của A.
2. Tìm tất cả các điểm biên của A.
Đáp số:
1) Không có điểm trong
2) Có một điểm biên là (1,2).
4) A không đóng, không mở.
3) Có một điểm tụ là (1,2).
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ chương trình toán A2, để vẽ mặt bậc hai:
Phương trình tổng quát của mặt bậc hai trong hệ tọa độ Descartes 0xyz là
1) Đưa dạng toàn phương (màu đỏ) về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao
2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ mới.
3) Vẽ hình.
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tập hợp tất cả các điểm (x,y) của miền xác định Df, sao cho f(x,y) = k được gọi là đường mức, trong đó k là hằng số cho trước.
k = 0
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt paraboloid elliptic
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt paraboloid elliptic
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt paraboloid elliptic
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt ellipsoid
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt Paraboloid hyperbolic
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt Paraboloid hyperbolic
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt Paraboloid hyperbolic
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt Hyperboloid 1 tầng
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt Hyperboloid hai tầng
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ta thấy với mọi k, đường mức luôn là đường tròn bán kính bằng 1.
k = 0
k = 1
k = 2
k = -2
k = -1
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt trụ: trong phương trình thiếu hoặc x, hoặc y, hoặc z.
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt trụ:
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt trụ
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt trụ
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt trụ
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt trụ
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt nón hai phía
III. Các mặt bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mặt nón hai phía
IV. Giới hạn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa giới hạn kép
Cho hàm hai biến , sao cho là điểm tụ của Df.
Ta nói giới hạn của f khi (x,y) dần đến điểm M0 bằng , nếu giá trị của f(x,y) tiến gần đến tùy thích bằng cách lấy những điểm (x,y) gần điểm M0, nhưng không trùng với M0.
Khi đó
IV. Gi?i h?n
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. Gi?i h?n
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0
IV. Gi?i h?n
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0
IV. Gi?i h?n
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chọn dãy
Khi đó
Chọn dãy thứ hai
Khi đó
Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến hai số khác nhau, suy ra không tồn tại giới hạn đã cho.
IV. Gi?i h?n
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f(x,y) là một đại lượng phụ thuộc vào k, mà k thay đổi nên không tồn tại giới hạn.
Chú ý. Chọn y = kx, tức là tiến đến (0,0) bằng những đường thẳng.
Phương pháp này không thể dùng để tìm giới hạn của dãy.
IV. Gi?i h?n
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến hai số khác nhau, suy ra không tồn tại giới hạn đã cho.
IV. Gi?i h?n
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến hai số khác nhau, suy ra không tồn tại giới hạn đã cho.
IV. Gi?i h?n
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. Gi?i h?n
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. Gi?i h?n
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
V. Li�n t?c
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Hàm số f(x,y) được gọi là liên tục tại , nếu
Hàm được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm mà nó xác định
Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là liên tục.
Thương của hai hàm liên tục là liên tục nếu hàm ở mẫu khác 0.
Hợp của hai hàm liên tục là liên tục (tại những điểm thích hợp).
V. Li�n t?c
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
V. Li�n t?c
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Suy ra những điểm gián đoạn của hàm số là đường thẳng x + y = 0.
Đây là hàm sơ cấp cơ bản nên liên tục tại những điểm mà nó xác định.
V. Li�n t?c
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy hàm đã cho liên tục tại mọi điểm trong mặt phẳng.
Suy ra f liên tục tại (0,0).
V. Li�n t?c
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy hàm không liên tục tại (0,0). Không tồn tại a.
VI. B�i t?p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm
VI. B�i t?p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Vẽ các mặt bậc hai sau:
VI. B�i t?p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Vẽ các khối sau:
VI. B�i t?p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Vẽ các khối sau (tiếp theo)
VI. B�i t?p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Tìm các giới hạn kép
VI. B�i t?p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Tìm các giới hạn kép (tiếp theo)
VI. B�i t?p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Tìm các giới hạn kép (tiếp theo)
VI. B�i t?p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Tìm các điểm gián đoạn
VI. B�i t?p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Tìm các điểm gián đoạn (tiếp theo)
VI. B�i t?p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số liên tục tại (0,0).